ESCHER E LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Geometria iperbolica

“La pesca miracolosa” (1959) e “Angeli e demoni” (1960)

Geometria sferica

“Sfera con mano riflettente” (1935)

“Balcone” (1945)

GEOMETRIA SFERICA

Viaggiare in linea retta significa in termini non proprio matematici "andare sempre dritti".
Un esempio di mondo in cui valgono le regole della geometria sferica è proprio il nostro mondo poichè la terra assomiglia molto ad una sfera.
Ma possiamo anche fare un'altro esempio: immagina di essere una formica e di camminare sempre dritta su di un'arancia. Che figura descrivi?

GEOMETRIE NON EUCLIDEE

La geometria che studiamo a scuola si dice Geometria Euclidea perchè i suoi concetti base si fondano sulle idee esposte da Euclide (III sec. a.C.) nel suo libro Elementi.

Siamo sempre stati abituati a pensare (anche a livello storico) che la geometria sia una sola perchè la geometria (che significa "misura della terra") sia il modo di utilizzare la matematica per misurare gli oggetti della nostra realtà. In questo senso simo cressciuti con l'idea, quasi innata, che due rette parallele non si incontrano mai.

Ma se guardiamo un pò più in là del nostro naso e ci fidiamo dei nostri sensi, forse qualche dubbio ci dovrebbe venire.
Provate a guardare questa immagine:

Il nostro cervello ci dice che le due linee dei binari non si incontrano mai perchè sappiamo che i binari di un treno proseguono senza mai toccarsi.

Ma se ora disegnassi solo le due linee che rappresentano i binari, vi verrebbe ancora in mente di dire che non si toccano?

TASSELLAZIONE

Una delle tecniche pittoriche preferite da Escher è quella della tassellazione del piano.

Cosa significa?

Tassellare il piano significa ricoprire tutto il piano senza lasciare spazi vuoti… ma il piano è un oggetto geometrico a due dimensioni illimitato in tutte le direzioni…come posso pensare di ricoprirlo interamente?

Cerco una figura geometrica e la ripeto periodicamente fino a coprire tutto il piano.

Tassellazioni nell’arte.

La tassellazione è stata usata in particolare nel mondo arabo per affrescare i muri dei palazzi ; un esempio notevole lo troviamo all’Alhambra di Granada in Spagna.

Proprio da una visita a questo palazzo, Escher prende spunto per la sua arte.

Guarda questo blog che spiega chiaramente come lavora Escher per tassellare il piano.

http://descrittiva5.blogspot.it/2013/03/tassellazione-del-piano.html

Esercizi con GeoGebra

ESERCIZIO 1

Prova a tassellare il piano con i poligoni regolari (usando un solo poligono per ogni tasellazione).

Parti con il triangolo equilatero, poi prova con il quadrato, il pentagono, …

Cosa puoi dedurre?

Tutti i poligoni regolari possono essere usati per tassellare il piano?

ESERCIZIO 2

Ora prova a creare una tassellazione con un poligono non regolare a tua scelta.

ESERCIZIO 3

Prova quindi a tassellare il piano usando due poligoni diversi a tua scelta.

Tasselazioni non periodiche

Esistono tassellazioni fatte con figure che non si ripetono mai nello stesso modo.

La prima tassellatura non periodica fu scoperta nel 1966 ma richiedeva ben 20.246 tessere diverse. I matematici si chiedevano se fosse possibile fare meglio.

In particolare Roger Penrose, matematico dell’Università di Oxford, riuscì a trovare una tassellatura non periodica utilizzando solo due tessere che messe insieme formano un rombo.

LA SIMMETRIA

Se prendo una figura e faccio una riflessione rispetto all’asse Y, può succedere che alcune parti della figura si sovrappongano come in questo caso:

Secondo te, quando può succedere che le due figure (quella di partenze e la sua riflessione) si sovrappongano perfettamente?

ISOMETRIE

RIFLESSIONE

I punti di una figura sono simmetrici rispetto ad una retta detta Asse di riflessione.

TRASLAZIONE

I punti di una figura si spostano tutti nella stessa direzione e della stessa distanza.

ROTAZIONE

I punti di una figura ruotano tutti di uno stesso angolo rispetto a un punto, detto centro di rotazione, mantenendo costante la distanza da esso.

In altre parole, per effettuare una rotazione faccio così:

1.    Scelgo un punto (il centro di rotazione)

2.    Punto un compasso nel punto e apro fino al punto da far ruotare

ED ESCHER?

Guarda questi quadri. Quali movimenti del piano riconosci?

BIBLIOGRAFIA

“L’enigma Escher” – Paradossi  grafici tra arte e geometria

 “Contaci” – Misure, Spazio e figure – Bertinetto, Metiainen, Paasonen, Voutilainen – LIBRO 1 “Misure, spazio e figure”

 “Galleria di metamorfosi” – Maria Dedò

SITOGRAFIA

http://www.matematita.it/

ESCHER E LE TRASFORMAZIONI DEL PIANO

Ecco una serie di animali:

Prova a dividerli in diversi gruppi, scegliendo tu quali e quanti gruppi fare ma cerca di esplicitare il criterio utilizzato per suddividerli.

Quello appena fatto, è un esercizio di classificazione.

Ora prova a fare la stessa cosa con queste figure.

Quali sono uguali fra loro? Quanti tipi diversi di poligoni ci sono?

Come possiamo classificarle: